Если из резервуара выливают воду, уровень воды H в нём меняется в зависимости от времени t следующим образом: H(t)=at^2+bt+c. Пусть t0 — момент окончания слива. Известно, что в этот момент выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0. В течение какого времени вода из резервуара будет полностью вылита, если за первый час слилась половина уровня? Округлите ответ до ближайшего целого.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что H(1) = (a+b+c) / 2. Также известно, что H(t0)=0, h(t0)=0, а h'(t0)=0.

Из h(t0)=0 следует, что a(t0)^2+b(t0)+c=0.
Из h'(t0)=0 следует, что 2a(t0)+b=0.

Таким образом, мы имеем систему уравнений:
a(t0)^2+b(t0)+c=0
2a(t0)+b=0
a+b+c=2H(1)

Решим эту систему относительно a, b и c. Подставим значения h(1) и H(1):

a+b+c=2H(1) => a+b+c = 2(a+b+c)/2 => a+b+c = a+b+c
2a+b=0 => 2a+b=b => 2a=0 => a=0
a+b+c=0 => 0+b+c=0 => b+c=0 => c=-b

Итак, уравнение принимает вид H(t)=bt.

Поскольку за первый час слилась половина уровня, то H(1)=b=0.5, откуда b=0.5.

Теперь найдем момент времени t0 окончания слива. Подставим найденные значения a и b в уравнение h(t0)=0:

a(t0)^2+b(t0)+c=0
0.5(t0)^2+c=0
c=-0.5(t0)^2

Теперь подставим это значение c в уравнение h(t0)=0:

a(t0)^2+b(t0)+c=0
0.5(t0)^2-0.5(t0)^2=0
0=0, что верно.

Таким образом, момент времени t0=1.

Значит, за первый час слилась половина уровня, и вода из резервуара будет полностью вылита за 1 час.