В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты вершины, к которой выходят медиана и высота. Для этого подставим уравнения медианы и высоты в уравнение треугольника и найдем их точку пересечения.

Решаем систему уравнений:
x - 5y + 7 = 0
x + 4y - 2 = 0

Решение системы даёт нам координаты вершины С (1, 1).

Теперь составим уравнения сторон треугольника, используя найденные вершины:

1) Сторона AC:
Уравнение медианы можно переписать в виде y = (1/5)x + 7/5. Точки А(4,6) и C(1,1) принадлежат этой прямой, следовательно, она проходит через точки А и С.
Уравнение стороны AC: y = (1/5)x + 7/5

2) Сторона BC:
Уравнение высоты можно переписать в виде y = -(1/4)x + 1/2. Точки B (x, y) и C (1,1) принадлежат этой прямой, следовательно, она проходит через точки B и C.
Уравнение стороны BC: y = -(1/4)x + 1/2

Теперь найдем длину высоты треугольника, которая опущена из вершины A на сторону BC. Для этого найдем координаты точки пересечения стороны AC и BC, затем найдем расстояние между этой точкой и вершиной A.

Решаем систему уравнений:
y = (1/5)x + 7/5
y = -(1/4)x + 1/2

Получаем координаты точки B (2, 1), затем находим длину отрезка AB:
AB = √((4-2)^2 + (6-1)^2) = √5

Таким образом, координаты вершин треугольника ABC: A(4, 6), B(2, 1), C(1, 1).
Уравнения сторон треугольника:
AC: y = (1/5)x + 7/5
BC: y = -(1/4)x + 1/2

Длина высоты треугольника, опущенной из вершины A на сторону BC, равна √5.