Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется неравенство: 2+4+...+2n<(n+1)^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение по индукции.

База индукции:
Для n = 1: 2 < (1+1)^2, что верно (2 < 4).

Предположение индукции:
Пусть для некоторого k верно 2 + 4 + ... + 2k < (k+1)^2.

Теперь докажем, что неравенство выполняется и для k+1:
2 + 4 + ... + 2k + 2(k + 1) = 2 + 4 + ... + 2k + 2k + 2 = 2 + 4 + ... + 2k + 2(k+1),
2 + 4 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k+1)^2 + 2(k + 1) = (k+1)^2 + 2k + 2 = (k+1+1)^2.

Таким образом, с помощью метода математической индукции мы доказали, что для любого натурального n выполняется неравенство: 2+4+...+2n < (n+1)^2.