Для начала преобразуем уравнение:

x = 1 + √x + 11

x - 1 = √x + 11

x - 12 = √x

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(x - 12)² = x

Раскрываем скобки:

x² - 24x + 144 = x

x² - 25x + 144 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-25)² - 41144 = 625 - 576 = 49

x1,2 = (25 ± √49) / 2*1
x1,2 = (25 ± 7) / 2
x1 = (25 + 7) / 2 = 32 / 2 = 16
x2 = (25 - 7) / 2 = 18 / 2 = 9

Проверим корни подставив их в исходное уравнение:

для x = 16: 16 = 1 + √16 + 11
16 = 1 + 4 + 11
16 = 16 - верно

для x = 9: 9 = 1 + √9 + 11
9 = 1 + 3 + 11
9 = 15 - неверно

Следовательно, единственным корнем уравнения x = 1 + √x + 11 является x = 16.