Найдите все решения в простых числах уравнения[tex] {x}^{2} - 2 \times {y}^{2} = 1[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Это уравнение является уравнением Пелля для уравнения [tex] x^2 - 2y^2 = 1 [/tex].

Решениями уравнения Пелля являются все целые решения уравнения вида [tex] x = x_n [/tex], [tex] y = y_n [/tex], где [tex] x_n [/tex] и [tex] y_n [/tex] задаются следующим образом:

[tex] x_n + y_n\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^n [/tex]

Из этого решения следует, что все решения уравнения Пелля в простых числах имеют вид:

[tex] x_n = \frac{{(1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n}}{2} [/tex], [tex] y_n = \frac{{(1 + \sqrt{2})^n - (1 - \sqrt{2})^n}}{2\sqrt{2}} [/tex]

где [tex] n = 0, 1, 2, ... [/tex]

В случае уравнения [tex] x^2 - 2y^2 = 1 [/tex], решения в простых числах будут получаться только при нечетных значениях [tex] n [/tex].

Таким образом, решения уравнения в простых числах будут иметь вид:

1) [tex] x_1 = \frac{{(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2})}}{2} = 1 + 1 = 2 [/tex], [tex] y_1 = \frac{{(1 + \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2})}}{2\sqrt{2}} = 1 [/tex]

2) [tex] x_3 = \frac{{(1 + \sqrt{2})^3 + (1 - \sqrt{2})^3}}{2} = 7 [/tex], [tex] y_3 = \frac{{(1 + \sqrt{2})^3 - (1 - \sqrt{2})^3}}{2\sqrt{2}} = 5 [/tex]

Таким образом, решения в простых числах уравнения [tex] x^2 - 2y^2 = 1 [/tex] равны [tex] (x,y) = (2,1) [/tex] и [tex] (7,5) [/tex].