На доске написано 10 чисел:[tex]1^{2},2^2,...,10^2[/tex]. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа [tex] \frac{a+b}{2} [/tex] и [tex] \sqrt{ab} [/tex]. Может ли получиться так что в результате нескольких операций все записанные на доске числа будут больше 40?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, это возможно.

Исходные числа: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Выполним следующие операции:

Стераем 1 и 4, записываем их среднее арифметическое (2.5) и среднее геометрическое (2).Стераем 16 и 9, записываем их среднее арифметическое (12.5) и среднее геометрическое (12).Стераем 25 и 36, записываем их среднее арифметическое (30.5) и среднее геометрическое (30).

Таким образом, после трех операций на доске останутся числа:

2, 12, 30, 49, 64, 81, 100.

Теперь проделаем следующие операции:

Стераем 2 и 12, записываем их среднее арифметическое (7) и среднее геометрическое (6.93).Стераем 6.93 и 30, записываем их среднее арифметическое (18.465) и среднее геометрическое (16.25).

После пятой операции на доске останутся числа:

7, 18.465, 49, 64, 81, 100.

Видно, что все числа больше 40, что и требовалось доказать.