Для нахождения предела раскроем разность синусов разности по формуле синуса разности:
[tex]\lim{x \to \infty} \left(sin(ln(x+1)) - sin(lnx)\right) = \lim{x \to \infty} \left(2\cdot cos\left(\frac{ln(x+1)+lnx}{2}\right) \cdot sin\left(\frac{ln(x+1)-lnx}{2}\right)\right)[/tex]
[tex]= \lim{x \to \infty} \left(2\cdot cos\left(ln(\sqrt{x(x+1)})\right) \cdot sin\left(\frac{ln(x+1)-lnx}{2}\right)\right)[/tex]
[tex]= 2 \cdot sin\left(\lim{x \to \infty}\left(\frac{ln(x+1)-lnx}{2}\right)\right) = 2 \cdot sin(0) = \boxed{0}[/tex]