Чему равно кратчайшее расстояние от прямой х + у +2 = 0 до параболы у = х^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения кратчайшего расстояния между прямой и параболой воспользуемся методом Lagrange multipliers.

Обозначим уравнения прямой и параболы следующим образом:
1) Прямая: x + y + 2 = 0
2) Парабола: y = x^2

Запишем расстояние между точкой (x, x^2) на параболе и прямой в виде функции для оптимизации:
D(x) = sqrt((x + x^2 + 2)^2 / 2)

Теперь составим функцию Лагранжа:
L(x, λ) = sqrt((x + x^2 + 2)^2 / 2) + λ(x + x^2)

Найдем частные производные функции Лагранжа по x и λ:
∂L/∂x = (2x + 1) * ((x + x^2 + 2)^2 / 2)^(-1/2) + 2λx
∂L/∂λ = x + x^2

Из условия экстремума функции Лагранжа получаем систему уравнений:
∂L/∂x = 0
∂L/∂λ = 0

Подставив выражения для частных производных и уравнений прямой и параболы, получим:
2λ = 1
x + x^2 = 0

Решив систему уравнений, найдем значения x и λ:
λ = 1/2
x = -1

Таким образом, кратчайшее расстояние между прямой x + y + 2 = 0 и параболой y = x^2 равно sqrt((x + x^2 + 2)^2 / 2) = sqrt(6) ≈ 2.45.