Найти предел по 2 замечательному пределу:
[tex]\lim_{x \to \infty} (sin\frac{1}{x}+cos\frac{1}{x})^{x}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала выразим данное выражение через экспоненту.
[ \lim{x \to \infty} (\sin{\frac{1}{x}} + \cos{\frac{1}{x}})^{x} = \lim{x \to \infty} e^{x \ln(\sin{\frac{1}{x}} + \cos{\frac{1}{x}})} ]

Так как внутри функции стоит бесконечно малое выражение, мы можем использовать следующие пределы:
[ \lim{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1 ]
[ \lim{t \to 0} \frac{1 - \cos{t}}{t} = 0 ]

Используем их для $\sin{\frac{1}{x}}$ и $\cos{\frac{1}{x}}$.
[ \lim{x \to \infty} x \sin{\frac{1}{x}} = 1 ]
[ \lim{x \to \infty} x \cos{\frac{1}{x}} = 0 ]

Подставляем их в наше выражение:
[ \begin{aligned} \lim{x \to \infty} (\sin{\frac{1}{x}} + \cos{\frac{1}{x}})^{x} & = \lim{x \to \infty} e^{x \ln(\sin{\frac{1}{x}} + \cos{\frac{1}{x}})} \
& = \lim{x \to \infty} e^{x \ln( \cos{\frac{1}{x}}(1 + \cot{\frac{1}{x}}))} \
& = \lim{x \to \infty} e^{x \ln( \cos{\frac{1}{x}})} \
& = \lim_{x \to \infty} e^{\ln(\cos{\frac{1}{x}})/ \frac{1}{x}} \
& = e^1 = e
\end{aligned} ]

Таким образом, (\lim_{x \to \infty} (\sin{\frac{1}{x}} + \cos{\frac{1}{x}})^{x} = e)