Через середину d гипотенузы ab прямоугольного треугольника abc проведены прямые, параллельны его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке E, а другая - катет BC в точке F. Найдите гипотенузу AB,если EF = 9 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину гипотенузы AB за х.

Так как EF параллельна катету CB, то треугольник AEF подобен треугольнику ACB по принципу подобных треугольников.
Это также означает, что отношение сторон в подобных треугольниках одинаково, то есть AE/AC = EF/CB

Так как EF = 9 см, то AE = 9 см.

Далее, по теореме Пифагора:
AB^2 = AC^2 + CB^2
AB^2 = AE^2 + EC^2
AB^2 = 9^2 + x^2
AB^2 = 81 + x^2

Также, так как EF параллельна катету AC, то треугольник BFE подобен треугольнику ABC, а значит EF/AC = BF/AB. Значит:
9/x = BF/x
BF = 9

По теореме Пифагора в треугольнике BFC:
BF^2 + FC^2 = BC^2
9^2 + FC^2 = x^2
81 + FC^2 = x^2

Таким образом, получаем систему уравнений:
AB^2 = 81 + x^2
81 + FC^2 = x^2
FC = AB - 9

Подставим FC = AB - 9 в уравнение 2:
81 + (AB - 9)^2 = AB^2
81 + AB^2 - 18AB + 81 = AB^2

Упростим уравнение:
AB^2 - 18AB - 162 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = (-18)^2 - 41(-162) = 324 + 648 = 972

AB1,2 = (18 +/- sqrt(972))/2 = (18 +/- 3*sqrt(36))/2 = (18 +/- 18)/2 = {0, 36}

Так как длина стороны должна быть положительной, то получается, что AB = 36.

Ответ: гипотенуза AB равна 36 см.