В прямоугольном параллелепипиде ABCDA1B1C1D1 известны отношения длин ребер: AB:AD:AA1 = 5:12:13. Диагональ AC1 равна 39 корней из 2. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипида.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из отношений длин ребер имеем следующие соотношения:
AB = 5x, AD = 12x, AA1 = 13x,
где x - коэффициент пропорциональности.

По теореме Пифагора для треугольника ABC получаем:
AC = √(AB^2 + BC^2) = √(25x^2 + BC^2).

Также, по условию, AC1 = 39√2, заметим, что AC1 это гипотенуза в треугольнике AC1C.
Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получаем:
AC1 = √(AC^2 + CC1^2) => 39√2 = √(25x^2 + BC^2) + √(AC^2 + CC1^2).

Возводим обе части последнего равенства в квадрат:
(39√2)^2 = [√(25x^2 + BC^2)]^2 + [√(AC^2 + CC1^2)]^2,
1566 = 25x^2 + BC^2 + AC^2 + CC1^2.

Теперь заметим, что AB1CD - это прямоугольный параллелепипид, а значит:
AC = AA1 = 13x, и BC = BD = 5x.

Таким образом, подставляем это в последнее равенство:
1566 = 25x^2 + (5x)^2 + (13x)^2 + (13x)^2,
1566 = 25x^2 + 25x^2 + 169x^2 + 169x^2,
1566 = 388x^2.

Отсюда находим x: x = √(1566/388) = √4 = 2.

Теперь находим все длины ребер:
AB = 5x = 52 = 10,
AD = 12x = 122 = 24,
AA1 = 13x = 132 = 26,
BC = BD = 5x = 10,
CC1 = √[AC1^2 - AC^2] = √[39^22 - 13^22] = √(15212) = √3042.

Наконец, суммируем длины всех ребер:
10 + 24 + 26 + 10 + 10 + √3042 + √3042 = 80 + 2√3042.

Ответ: сумма длин всех ребер параллелепипеда равна 80 + 2√3042.