Докажите что произведение любых n последовательных натуральных чисел делится на n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение по индукции.

База индукции: для n = 1 утверждение верно, так как произведение одного числа делится на это число.

Предположение индукции: пусть для некоторого k утверждение верно для всех последовательностей длины k.

Индукционный переход: рассмотрим последовательность из k + 1 натурального числа: a, a + 1, a + 2, ..., a + k. По предположению индукции, произведение любых k чисел из этой последовательности делится на k. Тогда произведение (a + 1)(a + 2)...(a + k) можно представить как произведение a на произведение (a + 1)(a + 2)...(a + k), которое также делится на k. Таким образом, произведение k + 1 числа также делится на k.

Таким образом, мы доказали, что произведение любых n последовательных натуральных чисел делится на n для любого натурального n.