Решить систему уравнений:[tex] {x}^{2} + {y}^{2} = 25 \\ y = \frac{5}{x} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем второе уравнение для подстановки в первое:

[ x^2 + \left( \frac{5}{x} \right)^2 = 25 ]
[ x^2 + \frac{25}{x^2} = 25 ]
[ x^4 - 25x^2 + 25 = 0 ]

Получили квадратное уравнение относительно переменной x. Решим его с помощью дискриминанта:

[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 625 - 100 = 525 ]

[ x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{525}}{2} = \frac{25 \pm 5\sqrt{21}}{2} ]

[ y = \frac{5}{x} ]

Подставляем найденные значения x в уравнение для y:

[ y_{1} = \frac{5}{\frac{25 + 5\sqrt{21}}{2}} = \frac{10}{25 + 5\sqrt{21}} = \frac{2}{5 + \sqrt{21}} ]

[ y_{2} = \frac{5}{\frac{25 - 5\sqrt{21}}{2}} = \frac{10}{25 - 5\sqrt{21}} = \frac{2}{5 - \sqrt{21}} ]

Итак, система имеет два решения: