Решите систему неравенств
-x^2+3x+12≥4x+10
x^2+9x+41>6-3x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала приведем оба неравенства к стандартному виду:

1) -x^2 + 3x + 12 ≥ 4x + 10
Перенесем все члены в левую часть:
-x^2 - 3x - 4x + 12 - 10 ≥ 0
-x^2 - 7x + 2 ≥ 0

2) x^2 + 9x + 41 > 6 - 3x
Перенесем все члены в левую часть:
x^2 + 9x + 3x + 41 - 6 > 0
x^2 + 12x + 35 > 0

Теперь решим каждое неравенство по отдельности:

1) -x^2 - 7x + 2 ≥ 0
Перепишем неравенство с отрицательным коэффициентом у x^2:
x^2 + 7x - 2 ≤ 0
Найдем корни уравнения x^2 + 7x - 2 = 0:
D = 7^2 - 41(-2) = 49 + 8 = 57
x1 = (-7 + √57) / 2
x2 = (-7 - √57) / 2
Так как у коэффициента при x^2 положительный, то график при уравнении выгнут вверх, значит, неравенство определено на интервалах между корнями.
Получаем:
x ∈ (-∞; x1] ∪ [x2; +∞)

2) x^2 + 12x + 35 > 0
Данное квадратное уравнение имеет положительный дискриминант, т.е. корни вещественные. Решая уравнение x^2 + 12x + 35 = 0, получаем корни.
D = 12^2 - 4135 = 144 - 140 = 4
x1 = (-12 + √4) / 2 = (-12 + 2) / 2 = -5
x2 = (-12 - √4) / 2 = (-12 - 2) / 2 = -7
Так как при данном уравнении знак строго больше, то график неравенства будет определен на интервалах вне корней полученного уравнения.
Получаем:
x ∈ (-∞; -7) ∪ (-5; +∞)

Ответ:
x ∈ (-∞; -7) ∪ (-5; +∞)