Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны... Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон в четырехугольника равны.
Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны... Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон в четырехугольника равны.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Доказательство:
Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями AC и BD. Пусть M и N - середины сторон AB и CD, соответственно, и O - точка пересечения диагоналей.
Так как M и N - середины сторон AB и CD, то AM = MB и CN = ND.
Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то треугольники AOM и CON подобны по двум сторонам, так как угол O равен дополнительному углу, и угол AMO равен углу CNO.
Используя соответствие подобия треугольников, получаем, что AO/CO = MO/NO = 1/2.
Отсюда следует, что MO = 1/2 * NO.
Аналогично, используя подобие треугольников BON и DOM, получаем, что NO = 1/2 * MO.
Таким образом, получаем, что MO = NO, то есть отрезки, соединяющие середины противоположных сторон в четырехугольнике равны.