Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. y=4x(в квадрате) y=-2x+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для этого нужно найти точки пересечения двух линий: y = 4x^2 и y = -2x + 2.

Подставим y из второго уравнения в первое выражение:

4x^2 = -2x + 2

4x^2 + 2x - 2 = 0

x^2 + 1/2x - 1/2 = 0

D = (1/2)^2 - 4(-1)(-1/2) = 1/4 + 2 = 9/4

x1 = (-1/2 - (3/2)) / 2 = -1

x2 = (-1/2 + (3/2)) / 2 = 1

Теперь найдем значения y для x1 и x2:

y1 = 4*(-1)^2 = 4

y2 = -2*1 + 2 = 0

Итак, точки пересечения линий: A(-1, 4) и B(1, 0).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Это будет площадь между графиком y = 4x^2 и линией y = -2x + 2 на интервале [-1, 1].

Интегрируем по x:

∫[from -1 to 1] (4x^2 - (-2x+2)) dx = ∫[from -1 to 1] (4x^2 + 2x - 2) dx

= [4/3*x^3 + x^2 - 2x] [-1, 1]

= (4/31^3 + 1^2 - 21) - (4/3(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1))

= (4/3 + 1 - 2) - (4/3 - 1 + 2)

= 7 - 1 1/3

= 5 2/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x^2 и y = -2x + 2, равна 5 2/3.