Найти область определения:корень из (3(x+2)/x+4)-x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти область определения данного выражения, нужно найти значения переменной x, при которых всё выражение будет определено.

Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю: 3(x+2)/(x+4) - x >= 0

Решим это неравенство:

3(x+2)/(x+4) - x >= 0
(3x + 6)/(x + 4) - x >= 0
(3x + 6 - x(x + 4))/(x + 4) >= 0
(3x + 6 - x^2 - 4x)/(x + 4) >= 0
(-x^2 - x + 6)/(x + 4) >= 0
-(x^2 + x - 6)/(x + 4) >= 0
-(x + 3)(x - 2)/(x + 4) >= 0

Найдем точки разрыва функции, они равны x = -3, x = 2 и x = -4. Разобьем ось действительных чисел на интервалы с учетом этих точек разрыва:

(-бесконечность, -4)(-4, -3)(-3, 2)(2, +бесконечность)

Возьмем по очереди каждый интервал и найдем знак у числителя многочлена:

x = -5 : (-1)(-8) / -1 = 8 > 0x = -3.5 : (-0.5)(-5.5) / -0.5 = -5.5 < 0x = 0 : (3)(-1) / 3 = -1 < 0x = 3 : (6)(1) / 6 = 1 > 0

Теперь составим ответ, интервалы на которых неравенство выполняется:

(-бесконечность, -4) ∪ (2, +бесконечность)

Таким образом, областью определения данного выражения является множество всех действительных чисел кроме -4.