Доказать признак делимости на 11 для случая четырехзначных чисел: число a = a3a2a1a0 делится на 11 тогда и только тогда, когда |a3+a1−a2−a0| делится на 11.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, представим число a как сумму двух чисел: a = 1000a3 + 100a2 + 10a1 + a0.

Тогда, a3 + a1 − a2 − a0 = 1000a3 + 100a2 + 10a1 + a0 − 1000a2 - 100a1 - 10a0 - a0 = 999a3 + 99a2 + 9a1 - 999a0 = 9(111a3 + 11a2 + a1 - 111a0).

Заметим, что 111a3 + 11a2 + a1 - 111a0 является целым числом, так как является суммой целых чисел. Поэтому можно записать a3 + a1 − a2 − a0 = 9k.

Если a делится на 11, то по свойствам делимости, 9(111a3 + 11a2 + a1 - 111a0) кратно 11, а значит a3 + a1 − a2 − a0 также кратно 11.

Обратно, если a3 + a1 − a2 − a0 кратно 11, то 9k кратно 11, что крайне возможно только в случае, если k также кратно 11. Таким образом, 9(111a3 + 11a2 + a1 - 111a0) также кратно 11. Следовательно, a также кратно 11.

Таким образом, доказан признак делимости на 11 для четырехзначных чисел.