(стремится к плюс бесконечности, просто значок не нашел) [tex]\lim_{x \to \infty}\frac{ln(2+e^{4x})} {ln(3+e^{5x})}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного предела можно воспользоваться правилом Лопиталя. Преобразуем выражение:

[tex]\lim{x \to \infty}\frac{ln(2+e^{4x})}{ln(3+e^{5x})} = \lim{x \to \infty}\frac{\frac{d}{dx}(ln(2+e^{4x}))}{\frac{d}{dx}(ln(3+e^{5x}))}[/tex]

Производные функций в числителе и знаменателе равны соответственно:

[tex]\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{4e^{4x}}{2+e^{4x}}}{\frac{5e^{5x}}{3+e^{5x}}}[/tex]

Упростим выражение:

[tex]\lim{x \to \infty}\frac{4e^{4x}}{2+e^{4x}} \times \frac{3+e^{5x}}{5e^{5x}} = \lim{x \to \infty}\frac{4e^{4x} \times (3+e^{5x})}{(2+e^{4x}) \times 5e^{5x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{12e^{4x} + 4e^{9x}}{10e^{4x} + 5e^{9x}} = \frac{\infty}{\infty}[/tex]

Применяем правило Лопиталя еще раз:

[tex]= \lim{x \to \infty}\frac{\frac{d}{dx}(12e^{4x} + 4e^{9x})}{\frac{d}{dx}(10e^{4x} + 5e^{9x})} = \lim{x \to \infty}\frac{48e^{4x} + 36e^{9x}}{40e^{4x} + 45e^{9x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{48 + \frac{36}{e^{5x}}}{40 + \frac{45}{e^{5x}}} = \frac{48}{40} = 1[/tex]

Таким образом, искомый предел равен 1.