Найти производную y=cos2x/2tgx и tgx=arctgx/y

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной функции y=cos(2x)/(2tan(x)) нужно использовать правила дифференцирования композиции функций.

Сначала определим производную tg(x) как arctg(x)/y и заменим тангенс через обратную функцию:

tg(x) = arctg(x)/y
tan(x) = 1/arctg(x)/y = y/(arctg(x))

Теперь можем заменить tan(x) в функции y=cos(2x)/(2tan(x)), подставив y/(arctg(x)):

y = cos(2x)/(2*(y/(arctg(x)))

Упростим выражение:

y = cos(2x)(arctg(x)/y)/2
y = arctg(x)cos(2x)/2y

Теперь можем продифференцировать y по x:

d(y)/dx = (1/2)d(arctg(x)cos(2x)/y)/dx
d(y)/dx = (1/2)(d(arctg(x)cos(2x))/dx(1/y) - arctg(x)cos(2x)*(d(y)/dx)/y^2)

Известно, что производные arctan(x) и cos(x) равны arctan(x)' = 1/(1+x^2) и cos(x)' = -sin(x), соответственно. Подставляем значения:

d(y)/dx = (1/2)(((1/(1+x^2))(-sin(2x))(1/y)) - (arctg(x)cos(2x)*d(y)/dx)/(y^2))

Получившееся уравнение может быть решено исходя из заданий конкретных значений переменной x.