Вычислить :
z = [tex](\frac{1-i}{\sqrt{2} } )^{1+i}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления z = [tex](\frac{1-i}{\sqrt{2} })^{1+i}[/tex], сначала преобразуем дробь в комплексную форму:

[tex]\frac{1-i}{\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

Теперь выразим это число в тригонометрической форме:

[tex]\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4})[/tex]
[tex]-i\frac{1}{\sqrt{2}} = -i\sin(\frac{\pi}{4})[/tex]

Тогда [tex]\frac{1-i}{\sqrt{2} } = cos(\frac{\pi}{4}) -i sin(\frac{\pi}{4})[/tex] = [tex]e^{-\frac{\pi}{4}i}[/tex]

Подставим это обратно в z:

z = tex^{1+i}[/tex]

Преобразуем это к виду [tex]e^{(1+i) * (-\frac{\pi}{4}i)}[/tex]

Упростим под экспонентой:

tex (-\frac{\pi}{4}i) = -\frac{\pi}{4}i - i^2 \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}i + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}(1-i)[/tex]

Итак, z = [tex]e^{\frac{\pi}{4}(1-i)}[/tex]