Довести, що сума 3¹+3²+3³+3⁴....+3¹°° ділитться на 120

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Спочатку розкладемо суму 3ⁿ у вигляді суми геометричної прогресії: 3¹+3²+3³+3⁴....+3ⁿ = 3(3⁰+3¹+3²+3³....+3ⁿ⁻¹) = 3 * (3ⁿ - 1)/(3 - 1)

Отже, сума 3¹+3²+3³+3⁴....+3ⁿ = (3ⁿ - 1)/2

Так як нам треба перевірити ділимість цієї суми на 120, перевіримо, чи ділиться чисельник (3ⁿ - 1) на 40 і 3.

По модулю 40 (враховуючи, що 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243 і т.д.):

3⁰ = 1 (ділиться на 40)3¹ = 3 (не ділиться на 40)3² = 9 (не ділиться на 40)3³ = 27 (не ділиться на 40)3⁴ = 1 (ділиться на 40)3⁵ = 3 (не ділиться на 40)
Таким чином, ми бачимо, що (3ⁿ - 1) ділиться на 40 через 4.

По модулю 3:
(3ⁿ - 1) = 2 для будь-якого значення n, оскільки 3ⁿ завжди буде залишати 1 при діленні на 3.

Таким чином, (3ⁿ - 1) ділиться на 40 * 2 = 80 і на 3, отже, ділиться на 120.

Отже, можемо зробити висновок, що сума 3¹+3²+3³+3⁴....+3ⁿ ділиться на 120.