Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объёмом V. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения размеров бака, которые потребуют наименьшего количества материала, нужно определить, какие параметры влияют на площадь поверхности бака.

Площадь поверхности цилиндра можно выразить формулой: S = 2πrh + 2πr^2, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Объем цилиндра равен V = πr^2h.

Мы хотим минимизировать S, при условии, что V остается постоянным. Решая задачу оптимизации, мы убеждаемся, что минимальная площадь поверхности достигается в случае, когда r = h.

Итак, чтобы наименьшее количество материала использовалось, необходимо, чтобы радиус основания был равен высоте бака, т.е. r = h.

Таким образом, размеры бака должны быть следующими: радиус основания r = h = (V/π)^(1/3).