Докажите, что Sin3° иррациональное

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Допустим, что Sin3° - рациональное число.

Так как Sin3° = Sin(2° + 1°) = Sin2°Cos1° + Cos2°Sin1°, то Sin3° выражается через синусы углов 1° и 2°. Известно, что Sin1° = выражение с корнем из числа, поэтому Sin3° также будет содержать корень из числа в своем выражении.

Предположим, что Sin3° = r/s, где r и s - целые числа. Тогда Sin²3° = 1 - Cos²3° = (r/s)².

Отсюда следует, что Cos²3° = 1 - (r/s)² = (s² - r²)/s².

Так как Sin2° = 2Sin1°Cos1° = 2 (Sin1°) Sqrt(1 - (Sin1°)²), то Sin2° - рациональное число.

Из приведенных выражений Sin3° и Sin2° следует, что Cos3° = Cos(3°) = Sqrt(1 - (Sin3°)²) - рациональное число.

Теперь рассмотрим теорему о трех перпендикулярах: рациональные числа образуют линейное пространство над полем Q.

Следовательно, если два числа являются рациональными, то и их произведение, а также корень их произведения, также будет рациональным числом.

Так как Sin3° и Cos3° образуют пару вектора в трехмерном пространстве, их произведение Sin3° * Cos3° также будет рациональным числом.

Значит, Sin3° и Cos3° не могут быть одновременно рациональными. Пришли к противоречию, следовательно, Sin3° иррациональное число.