Докажите неравенство, (a>0, b>0):[tex] \frac{a}{b^{2} } + \frac{b}{a^{2} } \geqslant \frac{1}{a} + \frac{1}{b} [/tex](P.s. это вообще реально доказать? XD)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, данное неравенство можно доказать.

Исходное неравенство можно переписать в виде:

[tex] a^{3}+b^{3} \geqslant ab^{2}+a^{2}b [/tex]

Разделим обе части неравенства на ab:

[tex] \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a} \geqslant a+b [/tex]

Преобразуем левую часть неравенства:

[tex] \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^2}{a}=\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}\geqslant \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab} \geqslant \frac{(a+b)(ab)}{ab}= a+b[/tex]

Таким образом, изначальное неравенство доказано.