Докажите, что если число вида 1111...11 кратно 13, то оно кратно 77

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что число вида 1111...11 (содержащее только цифру 1 и имеющее n цифр) кратно 13.
Так как 1111...11 = 10^n - 1, то это число можно представить как (10^n - 1)/9.
Заметим, что 10^n - 1 = (10 - 1)(10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 10 + 1). Поскольку 13 не делит 9, то 13 не делит (10 - 1), а значит 13 должно делиться на 10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 10 + 1.

Теперь докажем, что если число вида 1111...11 кратно 13, то оно кратно 77. Рассмотрим выражение 10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 10 + 1. Мы можем записать это выражение в виде 10^n / 10 - 1 / 9. Таким образом, это равно 10^n / 9 - 1 / 9, что равно (10^n - 1) / 9. Мы уже знаем, что (10^n - 1) / 9 кратно 13, а значит кратно и 7 (т.к. 13 и 7 взаимно просты). Получается, что число вида 1111...11 кратно 7, и следовательно, оно кратно 77.

Таким образом, если число вида 1111...11 кратно 13, то оно кратно и 77.