Доказать методом математической индукции что (5*2^3n-2 +3^3n-1) делится на 19 без остатка

16 Сен 2019 в 12:43
237 +1
0
Ответы
1

Докажем по индукции, что 5*2^(3n-2) + 3^(3n-1) делится на 19 без остатка для всех натуральных n.

База индукции: при n = 1
52^(31-2) + 3^(31-1) = 52^1 + 3^2 = 10 + 9 = 19,
что делится на 19 без остатка.

Предположение индукции: пусть утверждение верно для n = k
То есть 5*2^(3k-2) + 3^(3k-1) делится на 19 без остатка.

Шаг индукции: докажем, что утверждение верно для n = k + 1
Рассмотрим выражение 52^(3(k+1)-2) + 3^(3(k+1)-1) = 52^(3k+1) + 3^(3k+2)

52^(3k+1) + 3^(3k+2) = 522^(3k) + 33^(3k).

Распишем это уравнение:

522^(3k) + 33^(3k) = 102^(3k) + 93^3k = 2(52^(3k)) + 9(3^(3k)).

По предположению индукции 5*2^(3k-2) + 3^(3k-1) делится на 19 без остатка, т.е. равно 19m, где m - целое число.

Тогда выражение превращается в 2(19m) + 9(3^(3k)) = 38m + 9(3^(3k)),
и, как видно, является суммой двух целых чисел, то есть делится на 19 без остатка.

Таким образом, утверждение доказано.

19 Апр в 23:15
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 91 633 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир