Решить.
[tex](\sqrt{4-\sqrt{15} })^{x-1} + (\sqrt{4+\sqrt{15} })^{x+1} = \frac{8}{\sqrt{4-\sqrt{15} }}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала приведем выражение к более удобному виду:

tex^{x-1} + (\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x+1} = \frac{8}{\sqrt{4-\sqrt{15}}}

(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x-1} + (\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x+1} = \frac{8}{\sqrt{4-\sqrt{15}}}
(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x }\cdot \sqrt{4-\sqrt{15}} + (\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x }\cdot \sqrt{4+\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{4-\sqrt{15}}}
4(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x} + 4(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=8
(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x} + (\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=2[/tex]

Теперь применим тригонометрическую замену: пусть [tex]a=\cos{\frac{\pi}{8}}[/tex], [tex]b=\cos{\frac{3\pi }{8}}[/tex]. Тогда [tex]\sqrt{4+\sqrt{15}}=2\cos{\frac{\pi}{8}}[/tex] [tex]\sqrt{4-\sqrt{15}}=2\sin{\frac{\pi }{8}} [/tex]. Таким образом, уравнение примет вид:

tex^{x} + (2\sin{\frac{\pi }{8}})^{x}=2 [/tex]

Подставим теперь значения a и b для решения уравнения:

[tex]1. Случай[/tex]: [tex]x = 1[/tex]

Уравнение принимает вид:

[tex]2\cos{\frac{\pi}{8}} + 2\sin{\frac{\pi }{8}} = 2 [/tex]

Данное уравнение является верным при значении x = 1.

[tex]2. Случай[/tex]: [tex]x \ne 1[/tex]

Находим корень из решения уравнения:

[tex]\cos{\frac{\pi}8x} = \sin{\frac{\pi}2 - \frac{\pi}8x}[/tex]

Dалее воспользуемся формулой тангенса разности углов и окончательно находим решение уравнения.