Решить показательные неравенства
([tex]\sqrt\\2\\[/tex])ˣ ≥ 0, 125
(0,2)^x-1 > 25

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) ([tex]\sqrt{2}[/tex])^x ≥ 0,125

По определению корня, [tex]\sqrt{2}[/tex] ≈ 1,4142. Поэтому 0,125 = 1/8.

Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

1,4142^x ≥ 1/8
1,4142^x ≥ 2^-3
1,4142^x ≥ (2^1/2)^-3
1,4142^x ≥ 2^(-3 * 1/2)
1,4142^x ≥ 2^(-3/2)
1,4142^x ≥ √(1/8)
1,4142^x ≥ 1/(√8)
1,4142^x ≥ 1/(2√2)

Теперь вспомним, что √2 ≈ 1,4142. Поэтому 1,4142^x = √2^x.

√2^x ≥ 1/(2√2)
√2^x ≥ √2^(-2)
√2^x ≥ 2^(-1)
√2^x ≥ 1/2

Ответ: x ≥ 1/2

2) (0,2)^x-1 > 25

Представим 25 как 5^2. Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

(0,2)^x-1 > 5^2
(0,2)^x-1 > 5^2
(1/5)^x-1 > 5^2
1/(5^x) > 5^2
5^x < 1/5

Поскольку основание 5 больше 1, то разрешается возводить в него отрицательные степени.

Ответ: x < 0