Дан некоторый острый угол α=60∘
. На одной из его сторон отмечены точки A1
и A2
, на другой стороне отмечена точка B
.
Вершина угла — Н
. Известно, что HA1=2
, A1A2=8
. При какой величине отрезка HB
величина острого угла между прямыми A1B
и A2B
будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек A1, A2 и B.

Пусть вершина угла Н находится в начале координат, тогда точка A1 будет иметь координаты (0, 2), A2 - (8cos60°, 8sin60°) = (4, 6.93), B - (h, 0), где h - координата точки B по оси x.

Уравнения прямых A1B и A2B можно записать в виде y = k1x + 2 (прямая A1B) и y = k2x + 6.93 (прямая A2B), где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.

Тогда угол между прямыми определяется как arctg(|(k2 - k1)/(1 + k1k2)|).

Так как k1 = 2/h и k2 = 6.93/(4-h), то угол равен arctg(|((6.93-2h)/(4-h))/(1 + 2*6.93/(h(4-h)))|).

Для нахождения максимума этой функции продифференцируем ее и приравняем производную к нулю:

d(arctg(|((6.93-2h)/(4-h))/(1 + 2*6.93/(h(4-h)))|))/dh = 0

Проанализировав вторую производную, можно убедиться, что это точка максимума.

Решив уравнение, получаем h = 3.2326

Следовательно, острый угол между прямыми A1B и A2B будет максимальным при HB ≈ 3.2326.