Доказать,что a2+b2≥1/2,если a+b=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия, что a + b = 1, можем выразить b = 1 - a.
Теперь подставим это выражение в неравенство a^2 + b^2 ≥ 1/2:

a^2 + (1 - a)^2 ≥ 1/2

a^2 + 1 - 2a + a^2 ≥ 1/2

2a^2 - 2a + 1 ≥ 1/2

Умножим неравенство на 2, чтобы избавиться от дроби:

4a^2 - 4a + 2 ≥ 1

4a^2 - 4a + 1 ≥ 0

Теперь представим данное уравнение в виде квадратного трехчлена:

(2a - 1)^2 ≥ 0

Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то неравенство (2a - 1)^2 ≥ 0 верно для любых реальных чисел a.

Следовательно, a^2 + b^2 ≥ 1/2 при условии a + b = 1.