Из условия, что a + b = 1, можем выразить b = 1 - a.Теперь подставим это выражение в неравенство a^2 + b^2 ≥ 1/2:
a^2 + (1 - a)^2 ≥ 1/2
a^2 + 1 - 2a + a^2 ≥ 1/2
2a^2 - 2a + 1 ≥ 1/2
Умножим неравенство на 2, чтобы избавиться от дроби:
4a^2 - 4a + 2 ≥ 1
4a^2 - 4a + 1 ≥ 0
Теперь представим данное уравнение в виде квадратного трехчлена:
(2a - 1)^2 ≥ 0
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то неравенство (2a - 1)^2 ≥ 0 верно для любых реальных чисел a.
Следовательно, a^2 + b^2 ≥ 1/2 при условии a + b = 1.
Из условия, что a + b = 1, можем выразить b = 1 - a.
Теперь подставим это выражение в неравенство a^2 + b^2 ≥ 1/2:
a^2 + (1 - a)^2 ≥ 1/2
a^2 + 1 - 2a + a^2 ≥ 1/2
2a^2 - 2a + 1 ≥ 1/2
Умножим неравенство на 2, чтобы избавиться от дроби:
4a^2 - 4a + 2 ≥ 1
4a^2 - 4a + 1 ≥ 0
Теперь представим данное уравнение в виде квадратного трехчлена:
(2a - 1)^2 ≥ 0
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то неравенство (2a - 1)^2 ≥ 0 верно для любых реальных чисел a.
Следовательно, a^2 + b^2 ≥ 1/2 при условии a + b = 1.