Для нахождения интервалов, где выражение меньше или равно 0, нужно решить неравенство (1-x^3)^2(x^2-5x) ≤ 0.
(1-x^3)^2(x^2-5x) = 0
Точки пересечения: x = 0, x = 1, x = -1, x = 5.
1) x < -1:Выберем x = -2, тогда выполнено (-1)^2*(-21)<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
2) -1 < x < 0:Выберем x = -0,5, тогда выполнено (0,5)^2*(-1,5)<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
3) 0 < x < 1:Выберем x = 0,5, тогда выполнено (0,5)^2*(1,25)<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
4) 1 < x < 5:Выберем x = 2, тогда выполнено (-1)^2*3<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
5) x > 5:Выберем x = 6, тогда выполнено (-125)^2*31<0, но это не верно, на этом интервале выражение больше 0.
Итак, решение неравенства: x ∈ (-∞; -1] ∪ (-1; 0] ∪ (0; 1) ∪ (1; 5].
Для нахождения интервалов, где выражение меньше или равно 0, нужно решить неравенство (1-x^3)^2(x^2-5x) ≤ 0.
Найдем точки пересечения неравенства с осью x:(1-x^3)^2(x^2-5x) = 0
Точки пересечения: x = 0, x = 1, x = -1, x = 5.
Проверим знак выражения на каждом из интервалов:1) x < -1:
Выберем x = -2, тогда выполнено (-1)^2*(-21)<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
2) -1 < x < 0:
Выберем x = -0,5, тогда выполнено (0,5)^2*(-1,5)<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
3) 0 < x < 1:
Выберем x = 0,5, тогда выполнено (0,5)^2*(1,25)<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
4) 1 < x < 5:
Выберем x = 2, тогда выполнено (-1)^2*3<0, следовательно, на этом интервале выражение меньше 0.
5) x > 5:
Выберем x = 6, тогда выполнено (-125)^2*31<0, но это не верно, на этом интервале выражение больше 0.
Итак, решение неравенства: x ∈ (-∞; -1] ∪ (-1; 0] ∪ (0; 1) ∪ (1; 5].