Докажите, что (a в пятой степени-a) делится на 5 при любом натуральном a?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, давайте выразим (a в пятой степени - a) в виде произведения:

a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a^2 + 1)(a^2 - 1) = a(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)

Последнее выражение является произведением четырех последовательных чисел, поэтому одно из них обязательно будет кратным 5. А значит, (a в пятой степени - a) делится на 5 при любом натуральном a.