Щоб довести, що ab - ba кратний 9, розглянемо вираз ab - ba і спростимо його:

ab - ba = (a - b)b - ba = ab - b^2 - ba = ab - ba - b^2 = ab - ba - b^2 + b^2 = ab - ba

Отже, ми бачимо, що ab - ba = ab - ba, що дорівнює нулю.

Тепер звернемо увагу на величину (a - b)^3:

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Розглянемо коефіцієнти, що дорівнюють 3 та -3:

3 - 3 = 0

Отже, (a - b)^3 - 3ab(a-b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 - 3ab(a-b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 - 3ab + 3ab = a^3 - b^3

Ми знаємо, що a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), тому

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = ab - ba

Отже, ab - ba кратний 9.