Сначала выразим z^2:

z^2 = -1 - 5i

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

z = ±√(-1 - 5i)

Теперь найдем значение подкоренного выражения:

-1 - 5i = r(cos(θ) + isin(θ))

r = √((-1)^2 + (-5)^2) = √26
θ = arctan(-5 / -1) = arctan(5) ≈ 1.37

Теперь заменим найденные значения в выражении:

z = ±√(√26(cos(1.37) + isin(1.37)))

Таким образом, уравнение z^2 + 1 + 5i = 0 имеет два корня:

z = √(√26(cos(1.37) + isin(1.37)))
z = -√(√26(cos(1.37) + isin(1.37))