Неравенство 1/(2x+3)^2>=4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного неравенства сначала преобразуем его:

1/(2x+3)^2 >= 4

Перемножим обе части неравенства на (2x+3)^2:

1 >= 4(2x+3)^2

1 >= 4(4x^2 +12x + 9)

1 >= 16x^2 + 48x + 36

16x^2 + 48x + 35 <= 0

Далее, найдем корни уравнения 16x^2 + 48x + 35 = 0:

D = 48^2 -41635 = 2304 - 2240 = 64

x1 = (-48 + √64)/(2*16) = (-48 + 8)/32 = -40/32 = -1.25

x2 = (-48 - √64)/(2*16) = (-48 - 8)/32 = -56/32 = -1.75

Таким образом, корни уравнения равны -1.25 и -1.75.

Рассмотрим интервалы (-бесконечность;-1.75), (-1.75;-1.25), (-1.25;+бесконечность).

При подстановке в неравенство любого числа из каждого интервала, получим:

Для x ∈ (-бесконечность;-1.75) : 16x^2 + 48x + 35 > 0

Для x ∈ (-1.75;-1.25) : 16x^2 + 48x + 35 < 0

Для x ∈ (-1.25;+бесконечность) : 16x^2 + 48x + 35 > 0

Таким образом, решением неравенства является интервал x ∈ (-∞, -1.75) объединенный с интервалом x ∈ (-1.25, +∞).

Ответ: x ∈ (-∞, -1.75) U (-1.25, +∞).