Для решения данного неравенства сначала преобразуем его:
1/(2x+3)^2 >= 4
Перемножим обе части неравенства на (2x+3)^2:
1 >= 4(2x+3)^2
1 >= 4(4x^2 +12x + 9)
1 >= 16x^2 + 48x + 36
16x^2 + 48x + 35 <= 0
Далее, найдем корни уравнения 16x^2 + 48x + 35 = 0:
D = 48^2 -41635 = 2304 - 2240 = 64
x1 = (-48 + √64)/(2*16) = (-48 + 8)/32 = -40/32 = -1.25
x2 = (-48 - √64)/(2*16) = (-48 - 8)/32 = -56/32 = -1.75
Таким образом, корни уравнения равны -1.25 и -1.75.
Рассмотрим интервалы (-бесконечность;-1.75), (-1.75;-1.25), (-1.25;+бесконечность).
При подстановке в неравенство любого числа из каждого интервала, получим:
Для x ∈ (-бесконечность;-1.75) : 16x^2 + 48x + 35 > 0
Для x ∈ (-1.75;-1.25) : 16x^2 + 48x + 35 < 0
Для x ∈ (-1.25;+бесконечность) : 16x^2 + 48x + 35 > 0
Таким образом, решением неравенства является интервал x ∈ (-∞, -1.75) объединенный с интервалом x ∈ (-1.25, +∞).
Ответ: x ∈ (-∞, -1.75) U (-1.25, +∞).
Для решения данного неравенства сначала преобразуем его:
1/(2x+3)^2 >= 4
Перемножим обе части неравенства на (2x+3)^2:
1 >= 4(2x+3)^2
1 >= 4(4x^2 +12x + 9)
1 >= 16x^2 + 48x + 36
16x^2 + 48x + 35 <= 0
Далее, найдем корни уравнения 16x^2 + 48x + 35 = 0:
D = 48^2 -41635 = 2304 - 2240 = 64
x1 = (-48 + √64)/(2*16) = (-48 + 8)/32 = -40/32 = -1.25
x2 = (-48 - √64)/(2*16) = (-48 - 8)/32 = -56/32 = -1.75
Таким образом, корни уравнения равны -1.25 и -1.75.
Рассмотрим интервалы (-бесконечность;-1.75), (-1.75;-1.25), (-1.25;+бесконечность).
При подстановке в неравенство любого числа из каждого интервала, получим:
Для x ∈ (-бесконечность;-1.75) : 16x^2 + 48x + 35 > 0
Для x ∈ (-1.75;-1.25) : 16x^2 + 48x + 35 < 0
Для x ∈ (-1.25;+бесконечность) : 16x^2 + 48x + 35 > 0
Таким образом, решением неравенства является интервал x ∈ (-∞, -1.75) объединенный с интервалом x ∈ (-1.25, +∞).
Ответ: x ∈ (-∞, -1.75) U (-1.25, +∞).