Решите интеграл ∫ dx / (x² - 1)...........................

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного интеграла разложим знаменатель на простые дроби:

x² - 1 = (x + 1)(x - 1)

Теперь выразим каждую простую дробь в виде:

∫ dx / (x² - 1) = A / (x + 1) + B / (x - 1)

Приведем данное уравнение к общему знаменателю и сложим дроби:

1 = A(x - 1) + B(x + 1)

1 = Ax - A + Bx + B

1 = (A + B)x + (-A + B)

Отсюда получаем систему уравнений:

A + B = 0
-A + B = 1

Из первого уравнения находим, что A = -B. Подставляем это во второе уравнение:

-B - B = 1
-2B = 1
B = -1/2

A = -(-1/2) = 1/2

Таким образом, разложение на простые дроби будет:

∫ dx / (x² - 1) = 1/2 ∫ dx / (x + 1) - 1/2 ∫ dx / (x - 1)

Теперь можем проинтегрировать каждую дробь:

1/2 ln|x + 1| - 1/2 ln|x - 1| + C

Итак, итоговый ответ:

∫ dx / (x² - 1) = 1/2 ln|x + 1| - 1/2 ln|x - 1| + C, где C - постоянная интегрирования.