Середня линия трапеции 14 см а периметр 56 см. Доведить що в данну трапецию можна вписати коло

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Позначимо середню лінію трапеції за m, а бічні сторони за a та b.

Оскільки периметр трапеції дорівнює сумі всіх її сторін, то:

a + b + 2m + 2m = 56

a + b + 4m = 56

Також в трапеції середня лінія паралельна основам, тому a = b. Тоді:

2a + 4m = 56

a + 2m = 28

a = 28 - 2m

Скористаємося теоремою Піфагора для трикутника, утвореного медіаною та півдіагоналями трапеції:

m^2 = (a^2 + b^2)/4

m^2 = (a^2 + a^2)/4

m^2 = a^2/2

a^2 = 2m^2

a = √(2m^2)

Підставимо a = 28 - 2m та a = √(2m^2) одне в інше:

√(2m^2) = 28 - 2m

2m^2 = 784 - 112m + 4m^2

2m^2 + 112m - 784 = 0

m^2 + 56m - 392 = 0

Далі можна розв'язати це квадратне рівняння і знайти значення m, після цього розрахувати a та b. Якщо вийде, що a і b є цілими числами, то в данну трапецію можна вписати коло.