(1-x^2)y'+xy=1подробно, хочу понять как решать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала приведем уравнение к стандартному виду для линейного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

[ y' + \frac{x}{1-x^2}y = \frac{1}{1-x^2} ]

Далее, чтобы найти решение данного уравнения, применим метод интегрирующего множителя. Для этого найдем подходящий множитель, умножив на который уравнение будет точной дифференциальной формой.

Интегрирующий множитель определяется как (μ(x) = \exp\left( \int P(x)dx \right)), где (P(x) = \frac{x}{1-x^2}).

[ μ(x) = \exp\left( \int \frac{x}{1-x^2}dx \right) = \exp\left( -\frac{1}{2}\ln(1-x^2) \right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ]

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель:

[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y' + \frac{x}{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y = \frac{1}{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ]

[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}y' + \frac{x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}y = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} ]

Теперь запишем уравнение в виде производной от произведения:

[ \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}y \right)' = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} ]

Интегрируем обе части:

[ \int \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}y \right)' dx = \int \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} dx ]

[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}y = \int \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} dx + C ]

где ( C ) - произвольная постоянная.

Теперь найдем интеграл в правой части:

[ \int \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}-1} \right| + C_2 ]

Подставим этот интеграл и найденное значение ( μ(x) ) обратно в уравнение:

[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}y = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}-1} \right| + C ]

[ y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\ln\left| \frac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}-1} \right| + C\sqrt{1-x^2} ]

Таким образом, найдено общее решение уравнения.