Исследовать функцию и построить график y= (2x+1)/(x^2+2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала исследуем область определения функции. Функция y= (2x+1)/(x^2+2) определена для всех вещественных чисел x, так как знаменатель (x^2+2) никогда не равен нулю.

Теперь найдем границы функции. Посчитаем производную функции и найдем точки экстремума:

y= (2x+1)/(x^2+2)
y' = (2(x^2+2) - (2x+1)2x) / (x^2+2)^2
y' = (2x^2 + 4 - 4x^2 - 2x) / (x^2+2)^2
y' = ( -2x^2 - 2x + 4 ) / (x^2+2)^2

Чтобы найти точки экстремума приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:

-2x^2 - 2x + 4 = 0
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x1=-2 и x2=1.

Теперь найдем значения функции в точках экстремума и в концах области определения:

y(-3) = (2-3+1)/((-3)^2+2) = (-5) / 11
y(-2) = (2-2+1)/((-2)^2+2) = ( -3 ) / 6
y(0) = (20+1)/(0^2+2) = 1 / 2
y(1) = (21+1)/(1^2+2) = 3 / 3

Теперь построим график функции y= (2x+1)/(x^2+2):

(график)