Довести нерівність (a³-1)(a-1) ≥ 3a(a²-2a+1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Розробимо обидві частини нерівності:

Ліва частина:
(a³-1)(a-1) = a⁴ - a³ - a + 1

Права частина:
3a(a²-2a+1) = 3a³ - 6a² + 3a

Тепер підставимо ці значення у нерівність:

a⁴ - a³ - a + 1 ≥ 3a³ - 6a² + 3a

Розкладемо ліву частину на множники:
(a-1)(a³+1) ≥ 3a(a-1)(a-1)

Скасуємо (a-1) з обох сторін:
a³+1 ≥ 3a(a-1)

Розкладемо праву частину:
a³+1 ≥ 3a² - 3a

Перегрупуємо члени:
a³ - 3a² + 3a - 1 ≥ 0

(a-1)³ ≥ 0

Ця нерівність справедлива для всіх реальних значень a. Тому початкова нерівність (a³-1)(a-1) ≥ 3a(a²-2a+1) є правильною.