Определите площадь этого квадрата. В полярных координатах есть две противоположные вершины квадрата M (6; -7*pi/12) и N (4; pi/6). Определите площадь этого квадрата.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты остальных двух вершин квадрата.

Так как точки M и N противоположные вершины квадрата, то стороны квадрата будут параллельны вектору MN. Таким образом, для нахождения оставшихся вершин квадрата нужно повернуть вектор MN на 90 градусов как по часовой, так и против часовой стрелке.

Повернем вектор MN на 90 градусов по часовой стрелке:
Матрица поворота:
R = [cos(90) -sin(90); sin(90) cos(90)] = [0 -1; 1 0]
Вектор MN:
MN = (4-6; pi/6+pi) = (-2; 7pi/6)
Вектор MP (повернутый на 90 градусов по часовой стрелке):
MP = R MN = [0 -1; 1 0] (-2; 7pi/6) = (-7pi/6; 2)
Точка P:
P = M + MP = (6-7pi/6; -7pi/12+2) = (5/6; -2pi/3)

Повернем вектор MN на 90 градусов против часовой стрелки:
Вектор MQ (повернутый на 90 градусов против часовой стрелке):
MQ = R MN = [0 1; -1 0] (-2; 7pi/6) = (7pi/6; 2)
Точка Q:
Q = N + MQ = (4+7*pi/6; pi/6+2) = (31/6; 2+pi/6)

Теперь у нас есть все вершины квадрата: M(6, -7π/12), N(4, π/6), P(5/6, -2π/3) и Q(31/6, 2+π/6).

Для вычисления площади квадрата можем воспользоваться формулой площади квадрата через координаты вершин:
S = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|,

где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин квадрата.

Вычислим площадь квадрата:
S = 1/2 |6(π/6 - -2π/3) + 4(-2π/3 - -7π/12) + 5/6(-7π/12 - π/6)|
S = 1/2 |6(π/3 + 2π/3) + 4(4π/3 + 7π/12) - 5/6(7π/12 + π/6)|
S = 1/2 |6(π) + 4(2π - π/6) - 5/6(3π/2)|
S = 1/2 |6π + 8π - 2π/6 - 15π/4|
S = 1/2 |14π - 2π/6 - 15π/4|
S = 1/2 |56π/4 - 2π/6 - 15π/4|
S = 1/2 |(56π - 8π - 15π) / 4|
S = 1/2 |33π / 4|
S = 33π / 8

Таким образом, площадь квадрата равна 33π / 8.