Натуральное число n таково, что сумма четырёх его некоторых различных натуральных делителей равна 2n. Натуральное число n таково, что сумма четырёх его некоторых различных натуральных делителей
(возможно, включая само это число) равна 2n. Чему может быть равна сумма четырёх наименьших
натуральных делителей этого числа? Перечислите все варианты ответа и докажите, что других нет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n имеет делители d1, d2, d3, d4, такие что d1 <= d2 <= d3 <= d4. Тогда мы имеем сумму четырех делителей:
d1 + d2 + d3 + d4 = 2n.
Так как d1 <= d2 <= d3 <= d4, то 4d1 <= d1 + d2 + d3 + d4 = 2n.
Следовательно, d1 <= n/2.

Так как d1 - наименьший делитель n, то наименьшие возможные значения для d1 равны 1, 2, 3, ..., n/2.
Таким образом, сумма четырех наименьших натуральных делителей может быть равна:
1 + 2 + 3 + (n/2) = n/2 + 6,
2 + 3 + 4 + (n/2) = n/2 + 9,
3 + 4 + 5 + (n/2) = n/2 + 12,
...
(n/2 - 2) + (n/2 - 1) + (n/2) + (n/2 + 1) = 2n.

Докажем, что других возможностей для суммы нет. Если сумма делителей равна 2n, то как минимум один из делителей равен n и как минимум один делитель равен 1. Поэтому сумма четырех минимальных делителей будет не меньше чем n/2 + 1 + n + 1, что больше, чем n/2 + 6 при всех n > 12.