Натуральное число n таково, что сумма четырёх его некоторых различных натуральных делителей Натуральное число n таково, что сумма четырёх его некоторых различных натуральных делителей
(возможно, включая само это число) равна 2n. Чему может быть равна сумма четырёх наименьших
натуральных делителей этого числа? Перечислите все варианты ответа и докажите, что других нет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n = p^k, где p – простое число, а k – натуральное число.
Обозначим делители числа n как 1, p, p^2, ..., p^k.
Тогда для суммы четырёх делителей возможны следующие варианты:

1 + p + p^2 + p^3 = 2p^k1 + p + q + p^2 = 2p^k, где q - делитель, отличный от p1 + p + p^2 + p^2q = 2p^k, где q - делитель, больший единицы и отличный от p1 + p + q + r = 2p^k, где q, r - делители, отличные от p

Рассмотрим каждый из вариантов:

Сумма четырёх наименьших делителей числа n:
1 + p + p^2 + p^3 = 1 + p + p(p+1) = 1 + p + p(p) + p = p(p+1) + p + 1 = p(p+2) + 1.
Таким образом, сумма равна p(p+2) + 1, где p - простое число.Проверим, что других возможных вариантов нет:
Если среди делителей отличных от p есть числа большие, чем p^2, получим, что сумма станет больше, чем 2p^k.
Если среди делителей отличных от p нет числа p^2, то сумма будет не превосходить 1 + p + p^2 + p(p+1) = 2p^k
Поэтому других вариантов нет.

Таким образом, сумма четырёх наименьших делителей числа n может быть равна p(p+2) + 1, где p - простое число.