Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения экстремума функции z=xy(12-x-y), найдем ее частные производные по переменным x и y, и приравняем их к нулю.

Частная производная по x:
∂z/∂x = y(12 - 2x - y)

Частная производная по y:
∂z/∂y = x(12 - x - 2y)

Теперь приравняем их к нулю:

y(12-2x-y) = 0
x(12-x-2y) = 0

Из первого уравнения можно выразить y через x:
y = 12 - 2x

Подставим этот результат во второе уравнение:

x(12 - x - 2(12 - 2x)) = 0
x(12 - x - 24 + 4x) = 0
x(16 - x) = 0
x = 0, x = 16

Теперь найдем соответствующие значения y:
При x=0: y = 12 - 20 = 12
При x=16: y = 12 - 216 = -20 (не подходит, так как y должно быть положительным)

Таким образом, мы получили две точки экстремума: (0, 12) и (16, 12). Для того чтобы определить, являются ли эти точки максимумом или минимумом, можно проанализировать значение вторых частных производных или использовать тест на экстремумы.