Доказать что: сумма чисел 5m-3n и числа, противоположного числу m-7n, делится на 4,если m и n натуральные числа. Мне нужно не только решение но и объяснение если можно)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки и найдем сумму данных выражений:

5m - 3n + (-m + 7n) =
= 5m - 3n - m - 7n =
= 4m - 10n

Теперь нам нужно доказать, что данная сумма делится на 4. Для этого нужно показать, что остаток от деления суммы на 4 равен 0.

Для получения остатка от деления целого числа на 4, достаточно посмотреть на последние два разряда числа. Если последние два разряда делятся на 4, то и само число делится на 4.

Перепишем наше выражение, чтобы проще было проанализировать:
4m - 10n = 4(m - 3n - n)

Для того чтобы остаток от деления на 4 был равен 0, необходимо, чтобы выражение в скобках тоже делилось на 4. Посмотрим на нашу сумму:
m - 3n - n = m - 4n

Теперь нам нужно показать, что m - 4n делится на 4. Рассмотрим все возможные остатки от деления на 4:

Если m и n делятся на 4, то m - 4n = 0 и, следовательно, делится на 4.Если m делится на 4, но n не делится на 4, то m - 4n не делится на 4.Если m не делится на 4, но n делится на 4, то m - 4n не делится на 4.Если m и n не делятся на 4, то m - 4n не делится на 4.

Таким образом, сумма чисел 5m - 3n и числа, противоположного числу m - 7n, делится на 4 только в том случае, если m и n делятся на 4.