Для решения данной задачи нам нужно заметить, что i^4 = 1.

Таким образом, мы можем переписать выражение в следующем виде:

i^50 + i^100 + i^150 + i^200 + i^250 = (i^4)^12 + (i^4)^25 + (i^4)^37 + (i^4)^50 + (i^4)^62

Теперь мы можем заметить, что при возведении i в степень, остаток от деления этой степени на 4 определяет результат.

i^4 = 1
i^4^2 = i^1 = i
i^4^3 = i^2 = -1
i^4^4 = i^3 = -i
i^4^5 = i^4 = 1

Таким образом, можно упростить выражение:

(i^4)^12 = 1
(i^4)^25 = i
(i^4)^37 = -1
(i^4)^50 = 1
(i^4)^62 = -1

Теперь подставляем результаты обратно в исходное выражение:

1 + i - 1 + 1 - 1 = 1

Итак, i^50 + i^100 + i^150 + i^200 + i^250 = 1.