Решите уравнение: А) 4sin^2 x - 4sin x + 1 =0 Б) cos 2x - cos x - cos 3x = 0 В) 2sin^2 x - 4 sin x × cos x + 5cos^2 x =2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

А) Пусть ( t = sin x ). Тогда уравнение примет вид ( 4t^2 - 4t + 1 = 0 ). Решим это уравнение квадратным способом:

[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 ]

[ t = \frac{4 \pm 0}{2 \cdot 4} = 1 ]

Отсюда получаем ( sin x = 1 ), что означает, что ( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n ).

Б) Подставим ( u = cos x ). Уравнение примет вид:

[ u^2 - u - (1 - u^2) = 0 ]
[ u^2 - u - 1 + u^2 = 0 ]
[ 2u^2 - u - 1 = 0 ]

Решим данное уравнение квадратным способм:

[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 ]

[ u = \frac{1 \pm 3}{2 \cdot 2} ]

Имеем два решения: ( u_1 = \frac{4}{4} = 1, u_2 = \frac{-2}{4} = -0.5 )

Отсюда получаем два значения ( x = 0, 2\pi, \pm \frac{2\pi}{3}, \pm \frac{4\pi}{3} ).

В) Разложим по формуле суммы:

[ 2sin^2 x - 4 sin x \cdot cos x + 5cos^2 x - 2 = 0 ]

[ 2sin^2 x - 2 - 4 sin x \cdot cos x + 5cos^2 x = 0 ]

[ 2(sin^2 x - 1) - 4 (2sin x \cdot cos x) + 5(1 - sin^2 x) = 0 ]

[ -sin^2 x + 4sin x \cdot cos x - cos^2 x = 0 ]

[ -(sin x - cos x)^2 = 0 ]

Отсюда получаем ( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n ).