исследовать функцию и построить график f(x)=x^4-4x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции f(x) = x^4 - 4x^2 проведем анализ производных и найдем точки экстремума, точки перегиба, а также промежутки возрастания и убывания.

Найдем производную функции:
f'(x) = 4x^3 - 8x

Найдем стационарные точки (точки, где производная равна нулю):
4x^3 - 8x = 0
4x(x^2 - 2) = 0
Таким образом, x = 0, x = sqrt(2), x = -sqrt(2) - стационарные точки.

Найдем вторую производную для определения экстремумов функции и точек перегиба:
f''(x) = 12x^2 - 8

Подставим значения стационарных точек и вычислим вторую производную:
f''(0) = -8 < 0 - точка x = 0 - является максимумом функции
f''(sqrt(2)) = 242 - 8 = 40 > 0 - точка x = sqrt(2) - является минимумом функции
f''(-sqrt(2)) = 242 - 8 = 40 > 0 - точка x = -sqrt(2) - является минимумом функции

Построим график функции f(x) = x^4 - 4x^2:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2.5, 2.5, 100)
y = x*4 - 4x**2

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x) = x^4 - 4x^2')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике видно, что функция имеет максимум в точке x = 0 и минимумы в точках x = sqrt(2) и x = -sqrt(2). Функция сначала возрастает до x = -sqrt(2), затем убывает до x = 0, и снова возрастает после x = 0.