Докажите, что если (a-b)(c-d) и (a-c)(b-d) делятся на n то и число (a-d)(b-c) тоже делится на n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что (a-b)(c-d) и (a-c)(b-d) делятся на n.

Так как произведение двух чисел делится на n, то их разность тоже будет делиться на n. Давйте это докажем:

1) Пусть p = (a-b)(c-d) и q = (a-c)(b-d)
2) Тогда p = n k и q = n m, где k и m - некоторые целые числа
3) (a-d)(b-c) = ab - ac - bd + cd = bc - ac - bd + cd = (b-c)(d-a)
4) (b-c)(d-a) = (b-c)(-1)(a-d) = -p
5) Так как p и q делятся на n, то их разность тоже делится на n: p - q = nm - mk = n(m-k)
6) Получаем, что (a-d)(b-c) = -p = n * n(m-k) деляется на n

Таким образом, мы доказали, что если (a-b)(c-d) и (a-c)(b-d) делятся на n, то и число (a-d)(b-c) также делится на n.